Sabe-se que 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais. O menor valor real de k é:
A) 9 B) 16 C) 18 D) 27 E) 36
Resolução:
1ª solução
Dado o polinômio f(x) = 2x² - 12xy + ky², o problema nos diz que f(x) jamais é negativo, não importando os valores reais que x e y assumam.
Isso equivale a dizer que o gráfico de f(x) toca o eixo OX em apenas um ponto ou em nenhum ponto (a concavidade é para cima). Logo, temos que Δ ≤ 0.
(- 12y)² - 4.(2).(ky²) ≤ 0144y² - 8ky² ≤ 0
(144 - 8k)y² ≤ 0
y² jamais assume valor negativo. Então, para termos Δ ≤ 0 (independentemente do valor de y), devemos ter:
144 - 8k ≤ 0
8k ≥ 144
k ≥ 18
Portanto, o valor mínimo de k é k = 18. Resposta, letra C.
2ª solução
Temos 2x² - 12xy + ky² = 2.(x - 3y)² + (k - 18)y².
Assim, se k ≥ 18 então 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais.Além disso, tomando x = 3y > 0, se tivermos k < 18 vamos obter 2x² - 12xy + ky² < 0.
Logo, o menor valor de k é 18. Resposta, letra C.
sexta-feira, 18 de janeiro de 2013
quarta-feira, 16 de janeiro de 2013
OBM questão de Álgebra - 2006
Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a - b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de a/b + b/a - ab.
A) -2 B) - 1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
Resolução:
Seja T = a/b + b/a - ab.
O problema nos pede que façamos conclusões acerca dos valores que T pode assumir, partindo do dado de que ab = a - b.
Ora, se ab = a - b, então:
- a = (a + 1)b;
- b = (1 - b)a;
Dessa forma, se ab = a - b, então:
T = a/b + b/a - ab = (a + 1) + (1 - b) - (a - b) = a + 2 - b - a + b = 2
Portanto, sendo ab = a - b com a, b reais e não nulos, então só há um valor possível para T, que é T = 2.
Resposta, letra E.
A) -2 B) - 1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
Resolução:
Seja T = a/b + b/a - ab.
O problema nos pede que façamos conclusões acerca dos valores que T pode assumir, partindo do dado de que ab = a - b.
Ora, se ab = a - b, então:
- a = (a + 1)b;
- b = (1 - b)a;
Dessa forma, se ab = a - b, então:
T = a/b + b/a - ab = (a + 1) + (1 - b) - (a - b) = a + 2 - b - a + b = 2
Portanto, sendo ab = a - b com a, b reais e não nulos, então só há um valor possível para T, que é T = 2.
Resposta, letra E.
Olimpíada Brasileira de Matemática (2007)
O número de pares (x, y) de inteiros
positivos que satisfazem a equação
x8 + 3y4 = 4x2y3 ,
A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
Resolução:
Dividindo, primeiramente, os dois membros da equação dada por x8, obtemos a seguinte equação equivalente:
1 + 3(y4/x8) = 4(y3/x6) ---> 1 + 3(y/x2)4 = 4(y/x2)3
Fazendo z = y/x2, ficamos com a seguinte equação equivalente à original:
1 + 3z4 = 4z3
3z4 - 4z3 + 1 = 0
Fazendo as manipulações necessárias (sem alterar a igualdade), trabalhamos com a equação obtida acima, adicionando e subtraindo termos sem modificá-la. Observemos:
3z4 + 2z3 - 6z3 + 1 = 0
3z4 + 2z3 - 6z3 -3z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
3z4 + 2z3 + z2 - 6z3 - 4z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
z2 (3z2 + 2z + 1) -2z (3z2 + 2z + 1) + (3z2 + 2z + 1) = 0
3z4 + 2z3 + z2 - 6z3 - 4z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
z2 (3z2 + 2z + 1) -2z (3z2 + 2z + 1) + (3z2 + 2z + 1) = 0
(z2 - 2z + 1) (3z2 + 2z + 1) = 0
(z - 1)2 (3z2 + 2z + 1) = 0
(z - 1)2 (3z2 + 2z + 1) = 0
Obtivemos, assim, a forma fatorada da nossa equação original.
Calculando as raízes da equação, encontraremos que a única raiz racional é z = 1 (lembre-se de que "z" deve ser racional, pois é uma fração).
Ora, se z = 1, então y = x2. Logo, quaisquer y e x inteiros positivos tais que y = x2 satisfazem a equação do problema.
Conforme a limitação dada no problema: 1 £ y £ 2007, y pode assumir todos os valores de quadrados perfeitos nesse intervalo, a saber:
12, 22, 32, ..., 442 (442 = 1936 é o último quadrado perfeito não maior do que 2007)
Totalizam-se, portanto, 44 pares ordenados. Resposta, letra E.
segunda-feira, 14 de janeiro de 2013
Olimpíada de Matemática da Rússia (1968)
Qual o maior dos números: 3111 ou 1714?
Resolução:
Note que 17 > 24, logo 1714 > (24)14, isto é: 1714 > 256;
e 31 < 25, logo 3111 < (25)11, isto é: 3111 < 255.
Assim, 1714 > 256 > 255 > 3111 , portanto 1714 > 3111.
Resolução:
Note que 17 > 24, logo 1714 > (24)14, isto é: 1714 > 256;
e 31 < 25, logo 3111 < (25)11, isto é: 3111 < 255.
Assim, 1714 > 256 > 255 > 3111 , portanto 1714 > 3111.
IME 1991/1992
Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de base 7.
Resolução
Vamos um pouco mais além, e tentemos resolver a questão para o sistema de base n.
Um sistema posicional de base n é aquele em que uma unidade da esquerda vale n vezes uma unidade da direita.
Nesse sistema, então, temos n - 1 algarismos para simbolizar as unidades simples de 1 até n - 1, e mais um algarismo representando o nada, isto é, o zero. São ao todo, portanto, n algarismos distintos.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos, então, formar nesse sistema? Ora, vejamos:
_ _ _
São n - 1 possibilidades para o algarismo de 3ª ordem (exclui-se o zero); n - 1 possibilidades para o algarismo de 2ª ordem (inclui-se o zero, mas exclui-se o algarismo usado anteriormente); e n - 2 possibilidades para o algarismo de 1ª ordem.
De acordo com o princípio geral ou fundamental da contagem, temos:
(n - 1)² x (n - 2) números de 3 algarismos distintos no sistema de base n.
Dessa forma, para o sistema de base 7 (que é o que o problema nos pede), teremos:
6² x 5 = 36 x 5 = 180 números.
Resolução
Vamos um pouco mais além, e tentemos resolver a questão para o sistema de base n.
Um sistema posicional de base n é aquele em que uma unidade da esquerda vale n vezes uma unidade da direita.
Nesse sistema, então, temos n - 1 algarismos para simbolizar as unidades simples de 1 até n - 1, e mais um algarismo representando o nada, isto é, o zero. São ao todo, portanto, n algarismos distintos.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos, então, formar nesse sistema? Ora, vejamos:
_ _ _
São n - 1 possibilidades para o algarismo de 3ª ordem (exclui-se o zero); n - 1 possibilidades para o algarismo de 2ª ordem (inclui-se o zero, mas exclui-se o algarismo usado anteriormente); e n - 2 possibilidades para o algarismo de 1ª ordem.
De acordo com o princípio geral ou fundamental da contagem, temos:
(n - 1)² x (n - 2) números de 3 algarismos distintos no sistema de base n.
Dessa forma, para o sistema de base 7 (que é o que o problema nos pede), teremos:
6² x 5 = 36 x 5 = 180 números.
IME 1989/1990
IMEBOL é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde a > b > c são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flávio e Ralph resolvem jogar IMEBOL e após algumas partidas a soma dos pontos foi: Marcos: 20, Flávio: 10, Ralph: 9. Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.
Resolução
Chamaremos o número de partidas jogadas de n e o número total de pontos distribuídos em cada partida de p = a + b + c.
Como a > b > c > 0, temos que o valor mínimo para p, a princípio, é 6 = 3 + 2 + 1.
E já que Flávio ganhou a segunda partida, então n > 1 (= 2 ou 3 ou 4, ...).
Uma vez que Marcos obteve 20 pontos, Flavio: 10 e Ralph: 9, temos que o número total de pontos em todas as partidas é: np = (20 + 10 + 9) ---> np = 39.
Como n e p são inteiros positivos, temos que n e p devem, obrigatoriamente, ser divisores naturais de 39 (e, além disso, é claro, o produto deles deve resultar 39 ---> np = 39).
Dessa forma, temos a princípio duas possibilidades:
- 1 e 39 (Além de serem fatores, isto é, divisores naturais de 39, seu produto resulta 39);
- 3 e 13 (Idem ao de cima).
O número n de partidas jogadas não pode ser 1, pois, conforme já havíamos visto, n > 1. O número p de pontos totais distribuídos em cada partida (a + b + c) também não pode ser 1, porque, como vimos, o valor mínimo que p pode assumir é 6 (= 3 + 2 + 1). Assim, descartamos a primeira possibilidade.
Portanto, os números que resolvem a equação np = 39 devem ser 3 e 13.
Observemos, primeiramente, que p não pode ser igual a 3 (pelo motivo já exposto anteriormente); logo, p = 13 e n = 3.
Como Marcos fez 20 pontos nas três partidas, a > 6, e como Flávio fez 10 pontos, ganhando pelo menos uma partida, a < 9.
Assim, a princípio, a = 7 ou a = 8. Mas a = 7 significaria que Marcos teria tirado dois primeiros e um segundo, totalizando (2a + b) = 20 pontos, com b = 6. Isto é inviável, pois implicaria em c = 0, pois (a + b + c) = 13. Portanto, a = 8, e Flávio tendo ganhado pelo menos uma partida, necessariamente tirou em terceiro nas outras duas com c = 1, de modo que b = 4. Para atingir seus 20 pontos, Marcos então tirou dois primeiros e um segundo, e assim as colocações de Ralph também ficam determinadas:
Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Resolução
Chamaremos o número de partidas jogadas de n e o número total de pontos distribuídos em cada partida de p = a + b + c.
Como a > b > c > 0, temos que o valor mínimo para p, a princípio, é 6 = 3 + 2 + 1.
E já que Flávio ganhou a segunda partida, então n > 1 (= 2 ou 3 ou 4, ...).
Uma vez que Marcos obteve 20 pontos, Flavio: 10 e Ralph: 9, temos que o número total de pontos em todas as partidas é: np = (20 + 10 + 9) ---> np = 39.
Como n e p são inteiros positivos, temos que n e p devem, obrigatoriamente, ser divisores naturais de 39 (e, além disso, é claro, o produto deles deve resultar 39 ---> np = 39).
Dessa forma, temos a princípio duas possibilidades:
- 1 e 39 (Além de serem fatores, isto é, divisores naturais de 39, seu produto resulta 39);
- 3 e 13 (Idem ao de cima).
O número n de partidas jogadas não pode ser 1, pois, conforme já havíamos visto, n > 1. O número p de pontos totais distribuídos em cada partida (a + b + c) também não pode ser 1, porque, como vimos, o valor mínimo que p pode assumir é 6 (= 3 + 2 + 1). Assim, descartamos a primeira possibilidade.
Portanto, os números que resolvem a equação np = 39 devem ser 3 e 13.
Observemos, primeiramente, que p não pode ser igual a 3 (pelo motivo já exposto anteriormente); logo, p = 13 e n = 3.
Como Marcos fez 20 pontos nas três partidas, a > 6, e como Flávio fez 10 pontos, ganhando pelo menos uma partida, a < 9.
Assim, a princípio, a = 7 ou a = 8. Mas a = 7 significaria que Marcos teria tirado dois primeiros e um segundo, totalizando (2a + b) = 20 pontos, com b = 6. Isto é inviável, pois implicaria em c = 0, pois (a + b + c) = 13. Portanto, a = 8, e Flávio tendo ganhado pelo menos uma partida, necessariamente tirou em terceiro nas outras duas com c = 1, de modo que b = 4. Para atingir seus 20 pontos, Marcos então tirou dois primeiros e um segundo, e assim as colocações de Ralph também ficam determinadas:
Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
domingo, 13 de janeiro de 2013
Teorema sobre números primos
Prove que há infinitos números primos.
Resolução
Suponha-se, por absurdo, que haja um número finito de primos, ou seja, que os únicos primos existentes sejam: P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn.
Nesse caso, o número A = P1*P2*P3...Pn-1*Pn é divisível por qualquer um dos números primos existentes. Em contrapartida, o número:
B = A + 1 (= P1*P2...Pn + 1)
não é divisível por nenhum dos números primos P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn , o que contraria a nossa hipótese inicial, pois - nesse caso - B é um novo número primo.
Logo, existem infinitos números primos (como queríamos demonstrar).
Resolução
Suponha-se, por absurdo, que haja um número finito de primos, ou seja, que os únicos primos existentes sejam: P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn.
Nesse caso, o número A = P1*P2*P3...Pn-1*Pn é divisível por qualquer um dos números primos existentes. Em contrapartida, o número:
B = A + 1 (= P1*P2...Pn + 1)
não é divisível por nenhum dos números primos P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn , o que contraria a nossa hipótese inicial, pois - nesse caso - B é um novo número primo.
Logo, existem infinitos números primos (como queríamos demonstrar).
Assinar:
Postagens (Atom)