Cone sul 1993

Em um tabuleiro de xadrez 8 x 8, estão escritos ordenadamente os números de 1 a 64. Na primeira fila, da esquerda para a direita, estão os números de 1 a 8; na segunda fila, da esquerda para a direita, estão os números de 9 a 16, etc. Colocam-se sinais + ou - a cada número, de maneira que em cada fila haja 4 sinais + e 4 sinais - , o mesmo ocorrendo para cada coluna. Em seguida, somam-se os 64 números obtidos. Ache os possíveis resultados desta soma.

Resolução

De acordo com o enunciado do problema, na primeira fila escrevemos - da esquerda para a direita - os números (0 + 1), (0 + 2), (0 + 3), ..., (0 + 8); na segunda fila, (8 + 1), (8 + 2), (8 + 3), ..., (8 + 8); na terceira fila, (16 + 1), (16 + 2), (16 + 3), ..., (16 + 8); ... na oitava fila, (56 + 1), (56 + 2), (56 + 3), ..., (56 + 8).
Feito isso, colocamos antes dos números (ou seja, antes dos parênteses) sinais + ou - , de modo que haja 4 sinais de + e 4 sinais de - em cada uma das filas e em cada uma das colunas.
Portanto, na primeira fila teremos 4 zeros com sinais + e 4 zeros com sinais - , na segunda fila 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - , na terceira fila 4 dezesseis com sinais + e 4 dezesseis com sinais - , ..., na oitava fila 4 cinquenta e seis com sinais + e 4 cinquenta e seis com sinais -.

Portanto, quando somamos todos os 64 números, os 4 zeros com sinais + cancelam-se com os 4 zeros com sinais - , os 4 oitos com sinais + cancelam-se com os quatro oitos com sinais - , os 4 dezesseis com sinais + cancelam-se com os 4 dezesseis com sinais - , ..., os 4 cinquenta e seis com sinais + cancelam-se com os 4 cinquenta e seis com sinais -.

Restam somente:

- 4 um's com sinais + e 4 um's com sinais - (da primeira COLUNA);
- 4 dois com sinais + e 4 dois com sinais - (da segunda coluna);
- 4 três com sinais + e 4 três com sinais - (da terceira coluna);
(...)
- 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - (da oitava coluna).

Ora, mas é fácil perceber que o resultado da soma desses números também é NULA, já que todos eles - assim como os anteriores - também se cancelam.

Portanto, só há uma possibilidade para a soma dos 64 números do tabuleiro: ela SEMPRE será igual a ZERO. (há uma quantidade igual de números simétricos ou opostos tanto nas filas quanto nas colunas).