OBM questão de Álgebra - 2006

Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a - b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de a/b  +  b/a  -  ab.

A) -2              B) - 1/2              C) 1/3              D) 1/2               E) 2

Resolução:

Seja T = a/b  +  b/a  -  ab.
O problema nos pede que façamos conclusões acerca dos valores que T pode assumir, partindo do dado de que ab = a - b.
Ora, se ab = a - b, então:

- a = (a + 1)b;
- b = (1 - b)a;

Dessa forma, se ab = a - b, então:

T = a/b  +  b/a  -  ab = (a + 1) + (1 - b) - (a - b) = a + 2 - b - a + b = 2

Portanto, sendo ab = a - b com a, b reais e não nulos, então só há um valor possível para T, que é T = 2.
Resposta, letra E.