IME 1991/1992

Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de base 7.

Resolução

Vamos um pouco mais além, e tentemos resolver a questão para o sistema de base n.
Um sistema posicional de base n é aquele em que uma unidade da esquerda vale n vezes uma unidade da direita.
Nesse sistema, então, temos n - 1 algarismos para simbolizar as unidades simples de 1 até n - 1, e mais um algarismo representando o nada, isto é, o zero. São ao todo, portanto, n algarismos distintos.

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos, então, formar nesse sistema? Ora, vejamos:

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São n - 1 possibilidades para o algarismo de 3ª ordem (exclui-se o zero); n - 1 possibilidades para o algarismo de 2ª ordem (inclui-se o zero, mas exclui-se o algarismo usado anteriormente); e n - 2 possibilidades para o algarismo de 1ª ordem.

De acordo com o princípio geral ou fundamental da contagem, temos:

(n - 1)² x (n - 2) números de 3 algarismos distintos no sistema de base n.

Dessa forma, para o sistema de base 7 (que é o que o problema nos pede), teremos:

6² x 5 = 36 x 5 = 180 números.