ITA 2002

Se x, y, z são ângulos internos de um triângulo ABC e sen x = (sen y + sen z) / (cos y + cos z), prove que o triângulo ABC é retângulo.

Resolução

Primeiramente, recordemos algumas fórmulas das funções trigonométricas, que usaremos na resolução dessa questão.

(1) sen 2x = 2 sen x cos x
(2) sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
(3) cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]

De acordo com os dados do problema:

Se x + y + z = 180º , então y + z = 180º - x.

sen x = (sen y + sen z) / (cos y + cos z) , aplicando a fórmula (1) no lado esquerdo e as fórmulas (2) e (3) no lado direito da igualdade, teremos:

2 sen (x/2) cos (x/2) = { 2 sen [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] } / { 2 cos [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] }

2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen [(y+z)/2] } / { cos [(y+z)/2] }

Substituindo y + z = 180º - x no lado direito da igualdade acima, ficamos com:

2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen (90º - x/2) } / { cos (90º - x/2) }
2 sen (x/2) cos (x/2) = cos (x/2) / sen (x/2)
2 sen (x/2) = 1 / sen (x/2)
2 sen ² (x/2) = 1
sen ² (x/2) = 1/2
sen (x/2) = ± (√2)/2

Visto que x não é maior do que 180º , então o seno deve ser positivo, isto é:

sen (x/2) = (√2)/2 ⇒ x/2 = 45º ou x/2 = 135º ⇒ x = 90º ou x = 270º

Conforme já observamos, x não é maior do que 180º.
Logo, x = 90º e, portanto, o triângulo ABC é retângulo (como queríamos provar).