Olimpíada Brasileira de Matemática (2007)

O número de pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação

x⁸ + 3y⁴ = 4x²y³ ,

com 1 £ y £ 2007, é igual a:

A) 40                  B) 41                  C) 42                  D) 43                  E) 44

Resolução:
Dividindo, primeiramente, os dois membros da equação dada por x⁸, obtemos a seguinte equação equivalente:

1 + 3(y⁴/x⁸) = 4(y³/x⁶)  --->  1 + 3(y/x²)⁴ = 4(y/x²)³

Fazendo z = y/x², ficamos com a seguinte equação equivalente à original:

1 + 3z⁴ = 4z³ 
3z⁴ - 4z³ + 1 = 0

Fazendo as manipulações necessárias (sem alterar a igualdade), trabalhamos com a equação obtida acima, adicionando e subtraindo termos sem modificá-la. Observemos:

3z⁴ + 2z³ - 6z³ + 1 = 0

3z⁴ + 2z³ - 6z³ -3z² -2z +3z² + 2z + 1 = 0
3z⁴ + 2z³ + z² - 6z³ - 4z² -2z +3z² + 2z + 1 = 0
z² (3z² + 2z + 1) -2z (3z² + 2z + 1) + (3z² + 2z + 1) = 0   

(z² - 2z + 1) (3z² + 2z + 1) = 0
(z - 1)² (3z² + 2z + 1) = 0

Obtivemos, assim, a forma fatorada da nossa equação original.

Calculando as raízes da equação, encontraremos que a única raiz racional é z = 1 (lembre-se de que "z" deve ser racional, pois é uma fração).
Ora, se z = 1, então y = x². Logo, quaisquer y e x inteiros positivos tais que y = x² satisfazem a equação do problema.
Conforme a limitação dada no problema: 1 £ y £ 2007, y pode assumir todos os valores de quadrados perfeitos nesse intervalo, a saber:

1², 2², 3², ..., 44²   (44² = 1936 é o último quadrado perfeito não maior do que 2007)

Totalizam-se, portanto, 44 pares ordenados. Resposta, letra E.