Sabe-se que 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais. O menor valor real de k é:
A) 9 B) 16 C) 18 D) 27 E) 36
Resolução:
1ª solução
Dado o polinômio f(x) = 2x² - 12xy + ky², o problema nos diz que f(x) jamais é negativo, não importando os valores reais que x e y assumam.
Isso equivale a dizer que o gráfico de f(x) toca o eixo OX em apenas um ponto ou em nenhum ponto (a concavidade é para cima). Logo, temos que Δ ≤ 0.
(- 12y)² - 4.(2).(ky²) ≤ 0144y² - 8ky² ≤ 0
(144 - 8k)y² ≤ 0
y² jamais assume valor negativo. Então, para termos Δ ≤ 0 (independentemente do valor de y), devemos ter:
144 - 8k ≤ 0
8k ≥ 144
k ≥ 18
Portanto, o valor mínimo de k é k = 18. Resposta, letra C.
2ª solução
Temos 2x² - 12xy + ky² = 2.(x - 3y)² + (k - 18)y².
Assim, se k ≥ 18 então 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais.Além disso, tomando x = 3y > 0, se tivermos k < 18 vamos obter 2x² - 12xy + ky² < 0.
Logo, o menor valor de k é 18. Resposta, letra C.
sexta-feira, 18 de janeiro de 2013
quarta-feira, 16 de janeiro de 2013
OBM questão de Álgebra - 2006
Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a - b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de a/b + b/a - ab.
A) -2 B) - 1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
Resolução:
Seja T = a/b + b/a - ab.
O problema nos pede que façamos conclusões acerca dos valores que T pode assumir, partindo do dado de que ab = a - b.
Ora, se ab = a - b, então:
- a = (a + 1)b;
- b = (1 - b)a;
Dessa forma, se ab = a - b, então:
T = a/b + b/a - ab = (a + 1) + (1 - b) - (a - b) = a + 2 - b - a + b = 2
Portanto, sendo ab = a - b com a, b reais e não nulos, então só há um valor possível para T, que é T = 2.
Resposta, letra E.
A) -2 B) - 1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
Resolução:
Seja T = a/b + b/a - ab.
O problema nos pede que façamos conclusões acerca dos valores que T pode assumir, partindo do dado de que ab = a - b.
Ora, se ab = a - b, então:
- a = (a + 1)b;
- b = (1 - b)a;
Dessa forma, se ab = a - b, então:
T = a/b + b/a - ab = (a + 1) + (1 - b) - (a - b) = a + 2 - b - a + b = 2
Portanto, sendo ab = a - b com a, b reais e não nulos, então só há um valor possível para T, que é T = 2.
Resposta, letra E.
Olimpíada Brasileira de Matemática (2007)
O número de pares (x, y) de inteiros
positivos que satisfazem a equação
x8 + 3y4 = 4x2y3 ,
A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
Resolução:
Dividindo, primeiramente, os dois membros da equação dada por x8, obtemos a seguinte equação equivalente:
1 + 3(y4/x8) = 4(y3/x6) ---> 1 + 3(y/x2)4 = 4(y/x2)3
Fazendo z = y/x2, ficamos com a seguinte equação equivalente à original:
1 + 3z4 = 4z3
3z4 - 4z3 + 1 = 0
Fazendo as manipulações necessárias (sem alterar a igualdade), trabalhamos com a equação obtida acima, adicionando e subtraindo termos sem modificá-la. Observemos:
3z4 + 2z3 - 6z3 + 1 = 0
3z4 + 2z3 - 6z3 -3z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
3z4 + 2z3 + z2 - 6z3 - 4z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
z2 (3z2 + 2z + 1) -2z (3z2 + 2z + 1) + (3z2 + 2z + 1) = 0
3z4 + 2z3 + z2 - 6z3 - 4z2 -2z +3z2 + 2z + 1 = 0
z2 (3z2 + 2z + 1) -2z (3z2 + 2z + 1) + (3z2 + 2z + 1) = 0
(z2 - 2z + 1) (3z2 + 2z + 1) = 0
(z - 1)2 (3z2 + 2z + 1) = 0
(z - 1)2 (3z2 + 2z + 1) = 0
Obtivemos, assim, a forma fatorada da nossa equação original.
Calculando as raízes da equação, encontraremos que a única raiz racional é z = 1 (lembre-se de que "z" deve ser racional, pois é uma fração).
Ora, se z = 1, então y = x2. Logo, quaisquer y e x inteiros positivos tais que y = x2 satisfazem a equação do problema.
Conforme a limitação dada no problema: 1 £ y £ 2007, y pode assumir todos os valores de quadrados perfeitos nesse intervalo, a saber:
12, 22, 32, ..., 442 (442 = 1936 é o último quadrado perfeito não maior do que 2007)
Totalizam-se, portanto, 44 pares ordenados. Resposta, letra E.
segunda-feira, 14 de janeiro de 2013
Olimpíada de Matemática da Rússia (1968)
Qual o maior dos números: 3111 ou 1714?
Resolução:
Note que 17 > 24, logo 1714 > (24)14, isto é: 1714 > 256;
e 31 < 25, logo 3111 < (25)11, isto é: 3111 < 255.
Assim, 1714 > 256 > 255 > 3111 , portanto 1714 > 3111.
Resolução:
Note que 17 > 24, logo 1714 > (24)14, isto é: 1714 > 256;
e 31 < 25, logo 3111 < (25)11, isto é: 3111 < 255.
Assim, 1714 > 256 > 255 > 3111 , portanto 1714 > 3111.
IME 1991/1992
Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de base 7.
Resolução
Vamos um pouco mais além, e tentemos resolver a questão para o sistema de base n.
Um sistema posicional de base n é aquele em que uma unidade da esquerda vale n vezes uma unidade da direita.
Nesse sistema, então, temos n - 1 algarismos para simbolizar as unidades simples de 1 até n - 1, e mais um algarismo representando o nada, isto é, o zero. São ao todo, portanto, n algarismos distintos.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos, então, formar nesse sistema? Ora, vejamos:
_ _ _
São n - 1 possibilidades para o algarismo de 3ª ordem (exclui-se o zero); n - 1 possibilidades para o algarismo de 2ª ordem (inclui-se o zero, mas exclui-se o algarismo usado anteriormente); e n - 2 possibilidades para o algarismo de 1ª ordem.
De acordo com o princípio geral ou fundamental da contagem, temos:
(n - 1)² x (n - 2) números de 3 algarismos distintos no sistema de base n.
Dessa forma, para o sistema de base 7 (que é o que o problema nos pede), teremos:
6² x 5 = 36 x 5 = 180 números.
Resolução
Vamos um pouco mais além, e tentemos resolver a questão para o sistema de base n.
Um sistema posicional de base n é aquele em que uma unidade da esquerda vale n vezes uma unidade da direita.
Nesse sistema, então, temos n - 1 algarismos para simbolizar as unidades simples de 1 até n - 1, e mais um algarismo representando o nada, isto é, o zero. São ao todo, portanto, n algarismos distintos.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos, então, formar nesse sistema? Ora, vejamos:
_ _ _
São n - 1 possibilidades para o algarismo de 3ª ordem (exclui-se o zero); n - 1 possibilidades para o algarismo de 2ª ordem (inclui-se o zero, mas exclui-se o algarismo usado anteriormente); e n - 2 possibilidades para o algarismo de 1ª ordem.
De acordo com o princípio geral ou fundamental da contagem, temos:
(n - 1)² x (n - 2) números de 3 algarismos distintos no sistema de base n.
Dessa forma, para o sistema de base 7 (que é o que o problema nos pede), teremos:
6² x 5 = 36 x 5 = 180 números.
IME 1989/1990
IMEBOL é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde a > b > c são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flávio e Ralph resolvem jogar IMEBOL e após algumas partidas a soma dos pontos foi: Marcos: 20, Flávio: 10, Ralph: 9. Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.
Resolução
Chamaremos o número de partidas jogadas de n e o número total de pontos distribuídos em cada partida de p = a + b + c.
Como a > b > c > 0, temos que o valor mínimo para p, a princípio, é 6 = 3 + 2 + 1.
E já que Flávio ganhou a segunda partida, então n > 1 (= 2 ou 3 ou 4, ...).
Uma vez que Marcos obteve 20 pontos, Flavio: 10 e Ralph: 9, temos que o número total de pontos em todas as partidas é: np = (20 + 10 + 9) ---> np = 39.
Como n e p são inteiros positivos, temos que n e p devem, obrigatoriamente, ser divisores naturais de 39 (e, além disso, é claro, o produto deles deve resultar 39 ---> np = 39).
Dessa forma, temos a princípio duas possibilidades:
- 1 e 39 (Além de serem fatores, isto é, divisores naturais de 39, seu produto resulta 39);
- 3 e 13 (Idem ao de cima).
O número n de partidas jogadas não pode ser 1, pois, conforme já havíamos visto, n > 1. O número p de pontos totais distribuídos em cada partida (a + b + c) também não pode ser 1, porque, como vimos, o valor mínimo que p pode assumir é 6 (= 3 + 2 + 1). Assim, descartamos a primeira possibilidade.
Portanto, os números que resolvem a equação np = 39 devem ser 3 e 13.
Observemos, primeiramente, que p não pode ser igual a 3 (pelo motivo já exposto anteriormente); logo, p = 13 e n = 3.
Como Marcos fez 20 pontos nas três partidas, a > 6, e como Flávio fez 10 pontos, ganhando pelo menos uma partida, a < 9.
Assim, a princípio, a = 7 ou a = 8. Mas a = 7 significaria que Marcos teria tirado dois primeiros e um segundo, totalizando (2a + b) = 20 pontos, com b = 6. Isto é inviável, pois implicaria em c = 0, pois (a + b + c) = 13. Portanto, a = 8, e Flávio tendo ganhado pelo menos uma partida, necessariamente tirou em terceiro nas outras duas com c = 1, de modo que b = 4. Para atingir seus 20 pontos, Marcos então tirou dois primeiros e um segundo, e assim as colocações de Ralph também ficam determinadas:
Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Resolução
Chamaremos o número de partidas jogadas de n e o número total de pontos distribuídos em cada partida de p = a + b + c.
Como a > b > c > 0, temos que o valor mínimo para p, a princípio, é 6 = 3 + 2 + 1.
E já que Flávio ganhou a segunda partida, então n > 1 (= 2 ou 3 ou 4, ...).
Uma vez que Marcos obteve 20 pontos, Flavio: 10 e Ralph: 9, temos que o número total de pontos em todas as partidas é: np = (20 + 10 + 9) ---> np = 39.
Como n e p são inteiros positivos, temos que n e p devem, obrigatoriamente, ser divisores naturais de 39 (e, além disso, é claro, o produto deles deve resultar 39 ---> np = 39).
Dessa forma, temos a princípio duas possibilidades:
- 1 e 39 (Além de serem fatores, isto é, divisores naturais de 39, seu produto resulta 39);
- 3 e 13 (Idem ao de cima).
O número n de partidas jogadas não pode ser 1, pois, conforme já havíamos visto, n > 1. O número p de pontos totais distribuídos em cada partida (a + b + c) também não pode ser 1, porque, como vimos, o valor mínimo que p pode assumir é 6 (= 3 + 2 + 1). Assim, descartamos a primeira possibilidade.
Portanto, os números que resolvem a equação np = 39 devem ser 3 e 13.
Observemos, primeiramente, que p não pode ser igual a 3 (pelo motivo já exposto anteriormente); logo, p = 13 e n = 3.
Como Marcos fez 20 pontos nas três partidas, a > 6, e como Flávio fez 10 pontos, ganhando pelo menos uma partida, a < 9.
Assim, a princípio, a = 7 ou a = 8. Mas a = 7 significaria que Marcos teria tirado dois primeiros e um segundo, totalizando (2a + b) = 20 pontos, com b = 6. Isto é inviável, pois implicaria em c = 0, pois (a + b + c) = 13. Portanto, a = 8, e Flávio tendo ganhado pelo menos uma partida, necessariamente tirou em terceiro nas outras duas com c = 1, de modo que b = 4. Para atingir seus 20 pontos, Marcos então tirou dois primeiros e um segundo, e assim as colocações de Ralph também ficam determinadas:
Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
domingo, 13 de janeiro de 2013
Teorema sobre números primos
Prove que há infinitos números primos.
Resolução
Suponha-se, por absurdo, que haja um número finito de primos, ou seja, que os únicos primos existentes sejam: P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn.
Nesse caso, o número A = P1*P2*P3...Pn-1*Pn é divisível por qualquer um dos números primos existentes. Em contrapartida, o número:
B = A + 1 (= P1*P2...Pn + 1)
não é divisível por nenhum dos números primos P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn , o que contraria a nossa hipótese inicial, pois - nesse caso - B é um novo número primo.
Logo, existem infinitos números primos (como queríamos demonstrar).
Resolução
Suponha-se, por absurdo, que haja um número finito de primos, ou seja, que os únicos primos existentes sejam: P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn.
Nesse caso, o número A = P1*P2*P3...Pn-1*Pn é divisível por qualquer um dos números primos existentes. Em contrapartida, o número:
B = A + 1 (= P1*P2...Pn + 1)
não é divisível por nenhum dos números primos P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn , o que contraria a nossa hipótese inicial, pois - nesse caso - B é um novo número primo.
Logo, existem infinitos números primos (como queríamos demonstrar).
ITA 2002
Se x, y, z são ângulos internos de um triângulo ABC e sen x = (sen y + sen z) / (cos y + cos z), prove que o triângulo ABC é retângulo.
Resolução
Primeiramente, recordemos algumas fórmulas das funções trigonométricas, que usaremos na resolução dessa questão.
(1) sen 2x = 2 sen x cos x
(2) sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
(3) cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
De acordo com os dados do problema:
Se x + y + z = 180º , então y + z = 180º - x.
sen x = (sen y + sen z) / (cos y + cos z) , aplicando a fórmula (1) no lado esquerdo e as fórmulas (2) e (3) no lado direito da igualdade, teremos:
2 sen (x/2) cos (x/2) = { 2 sen [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] } / { 2 cos [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] }
2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen [(y+z)/2] } / { cos [(y+z)/2] }
Substituindo y + z = 180º - x no lado direito da igualdade acima, ficamos com:
2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen (90º - x/2) } / { cos (90º - x/2) }
2 sen (x/2) cos (x/2) = cos (x/2) / sen (x/2)
2 sen (x/2) = 1 / sen (x/2)
2 sen ² (x/2) = 1
sen ² (x/2) = 1/2
sen (x/2) = ± (√2)/2
Visto que x não é maior do que 180º , então o seno deve ser positivo, isto é:
sen (x/2) = (√2)/2 ⇒ x/2 = 45º ou x/2 = 135º ⇒ x = 90º ou x = 270º
Conforme já observamos, x não é maior do que 180º.
Logo, x = 90º e, portanto, o triângulo ABC é retângulo (como queríamos provar).
Resolução
Primeiramente, recordemos algumas fórmulas das funções trigonométricas, que usaremos na resolução dessa questão.
(1) sen 2x = 2 sen x cos x
(2) sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
(3) cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
De acordo com os dados do problema:
Se x + y + z = 180º , então y + z = 180º - x.
sen x = (sen y + sen z) / (cos y + cos z) , aplicando a fórmula (1) no lado esquerdo e as fórmulas (2) e (3) no lado direito da igualdade, teremos:
2 sen (x/2) cos (x/2) = { 2 sen [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] } / { 2 cos [(y+z)/2] cos [(y-z)/2] }
2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen [(y+z)/2] } / { cos [(y+z)/2] }
Substituindo y + z = 180º - x no lado direito da igualdade acima, ficamos com:
2 sen (x/2) cos (x/2) = { sen (90º - x/2) } / { cos (90º - x/2) }
2 sen (x/2) cos (x/2) = cos (x/2) / sen (x/2)
2 sen (x/2) = 1 / sen (x/2)
2 sen ² (x/2) = 1
sen ² (x/2) = 1/2
sen (x/2) = ± (√2)/2
Visto que x não é maior do que 180º , então o seno deve ser positivo, isto é:
sen (x/2) = (√2)/2 ⇒ x/2 = 45º ou x/2 = 135º ⇒ x = 90º ou x = 270º
Conforme já observamos, x não é maior do que 180º.
Logo, x = 90º e, portanto, o triângulo ABC é retângulo (como queríamos provar).
sábado, 12 de janeiro de 2013
Torneio das Cidades 1993
Três pilhas de caroços são dadas sobre uma mesa. É permitido adicionar ou remover de uma pilha um número de caroços igual à soma do número de caroços das outras duas pilhas. Por exemplo, [12, 3, 5] podem tornar-se [12, 20, 5] pela adição de 17 = 12 + 5 para a pilha de 3 ou tornar-se [4, 3, 5] pela remoção de 8 = 3 + 5 caroços da pilha com 12. É possível, iniciando com pilhas possuindo 1993, 199 e 19 caroços, conseguir uma pilha vazia depois de uma sequência de operações permitidas?
Resolução
Notemos, primeiramente, que todas as três pilhas possuem um número ÍMPAR de caroços: a primeira pilha tem 1993 caroços; a segunda, 199; e a terceira, 19.
Ora, a soma de dois números ímpares quaisquer é sempre PAR. Portanto, só podemos adicionar ou remover de qualquer uma das pilhas um número PAR de caroços, obtendo como resultado novamente 3 números ímpares (dois iguais aos anteriores e um novo).
Como se vê, não importa quantas vezes a gente repita o processo, sempre obteremos 3 pilhas com números ímpares de caroços. Isso porque:
ímpar + par = ímpar
ímpar - par = ímpar
Logo, NÃO É POSSÍVEL obter uma pilha vazia!
Resolução
Notemos, primeiramente, que todas as três pilhas possuem um número ÍMPAR de caroços: a primeira pilha tem 1993 caroços; a segunda, 199; e a terceira, 19.
Ora, a soma de dois números ímpares quaisquer é sempre PAR. Portanto, só podemos adicionar ou remover de qualquer uma das pilhas um número PAR de caroços, obtendo como resultado novamente 3 números ímpares (dois iguais aos anteriores e um novo).
Como se vê, não importa quantas vezes a gente repita o processo, sempre obteremos 3 pilhas com números ímpares de caroços. Isso porque:
ímpar + par = ímpar
ímpar - par = ímpar
Logo, NÃO É POSSÍVEL obter uma pilha vazia!
Cone sul 1993
Em um tabuleiro de xadrez 8 x 8, estão escritos ordenadamente os números de 1 a 64. Na primeira fila, da esquerda para a direita, estão os números de 1 a 8; na segunda fila, da esquerda para a direita, estão os números de 9 a 16, etc. Colocam-se sinais + ou - a cada número, de maneira que em cada fila haja 4 sinais + e 4 sinais - , o mesmo ocorrendo para cada coluna. Em seguida, somam-se os 64 números obtidos. Ache os possíveis resultados desta soma.
Resolução
De acordo com o enunciado do problema, na primeira fila escrevemos - da esquerda para a direita - os números (0 + 1), (0 + 2), (0 + 3), ..., (0 + 8); na segunda fila, (8 + 1), (8 + 2), (8 + 3), ..., (8 + 8); na terceira fila, (16 + 1), (16 + 2), (16 + 3), ..., (16 + 8); ... na oitava fila, (56 + 1), (56 + 2), (56 + 3), ..., (56 + 8).
Feito isso, colocamos antes dos números (ou seja, antes dos parênteses) sinais + ou - , de modo que haja 4 sinais de + e 4 sinais de - em cada uma das filas e em cada uma das colunas.
Portanto, na primeira fila teremos 4 zeros com sinais + e 4 zeros com sinais - , na segunda fila 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - , na terceira fila 4 dezesseis com sinais + e 4 dezesseis com sinais - , ..., na oitava fila 4 cinquenta e seis com sinais + e 4 cinquenta e seis com sinais -.
Portanto, quando somamos todos os 64 números, os 4 zeros com sinais + cancelam-se com os 4 zeros com sinais - , os 4 oitos com sinais + cancelam-se com os quatro oitos com sinais - , os 4 dezesseis com sinais + cancelam-se com os 4 dezesseis com sinais - , ..., os 4 cinquenta e seis com sinais + cancelam-se com os 4 cinquenta e seis com sinais -.
Restam somente:
- 4 um's com sinais + e 4 um's com sinais - (da primeira COLUNA);
- 4 dois com sinais + e 4 dois com sinais - (da segunda coluna);
- 4 três com sinais + e 4 três com sinais - (da terceira coluna);
(...)
- 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - (da oitava coluna).
Ora, mas é fácil perceber que o resultado da soma desses números também é NULA, já que todos eles - assim como os anteriores - também se cancelam.
Portanto, só há uma possibilidade para a soma dos 64 números do tabuleiro: ela SEMPRE será igual a ZERO. (há uma quantidade igual de números simétricos ou opostos tanto nas filas quanto nas colunas).
Resolução
De acordo com o enunciado do problema, na primeira fila escrevemos - da esquerda para a direita - os números (0 + 1), (0 + 2), (0 + 3), ..., (0 + 8); na segunda fila, (8 + 1), (8 + 2), (8 + 3), ..., (8 + 8); na terceira fila, (16 + 1), (16 + 2), (16 + 3), ..., (16 + 8); ... na oitava fila, (56 + 1), (56 + 2), (56 + 3), ..., (56 + 8).
Feito isso, colocamos antes dos números (ou seja, antes dos parênteses) sinais + ou - , de modo que haja 4 sinais de + e 4 sinais de - em cada uma das filas e em cada uma das colunas.
Portanto, na primeira fila teremos 4 zeros com sinais + e 4 zeros com sinais - , na segunda fila 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - , na terceira fila 4 dezesseis com sinais + e 4 dezesseis com sinais - , ..., na oitava fila 4 cinquenta e seis com sinais + e 4 cinquenta e seis com sinais -.
Portanto, quando somamos todos os 64 números, os 4 zeros com sinais + cancelam-se com os 4 zeros com sinais - , os 4 oitos com sinais + cancelam-se com os quatro oitos com sinais - , os 4 dezesseis com sinais + cancelam-se com os 4 dezesseis com sinais - , ..., os 4 cinquenta e seis com sinais + cancelam-se com os 4 cinquenta e seis com sinais -.
Restam somente:
- 4 um's com sinais + e 4 um's com sinais - (da primeira COLUNA);
- 4 dois com sinais + e 4 dois com sinais - (da segunda coluna);
- 4 três com sinais + e 4 três com sinais - (da terceira coluna);
(...)
- 4 oitos com sinais + e 4 oitos com sinais - (da oitava coluna).
Ora, mas é fácil perceber que o resultado da soma desses números também é NULA, já que todos eles - assim como os anteriores - também se cancelam.
Portanto, só há uma possibilidade para a soma dos 64 números do tabuleiro: ela SEMPRE será igual a ZERO. (há uma quantidade igual de números simétricos ou opostos tanto nas filas quanto nas colunas).
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