OBM 2009

Sabe-se que 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais. O menor valor real de k é:

A) 9              B) 16              C) 18              D) 27              E) 36

Resolução:

1ª solução

Dado o polinômio f(x) = 2x² - 12xy + ky², o problema nos diz que f(x) jamais é negativo, não importando os valores reais que x e y assumam.
Isso equivale a dizer que o gráfico de f(x) toca o eixo OX em apenas um ponto ou em nenhum ponto (a concavidade é para cima). Logo, temos que Δ ≤ 0.

(- 12y)² - 4.(2).(ky²) ≤ 0144y² - 8ky² ≤ 0
(144 - 8k)y² ≤ 0

y² jamais assume valor negativo. Então, para termos Δ ≤ 0 (independentemente do valor de y), devemos ter:

144 - 8k ≤ 0
8k ≥ 144
k ≥ 18

Portanto, o valor mínimo de k é k = 18. Resposta, letra C.

2ª solução

Temos 2x² - 12xy + ky² = 2.(x - 3y)² + (k - 18)y².
Assim, se k ≥ 18 então 2x² - 12xy + ky² ≥ 0 para todos x, y reais.Além disso, tomando x = 3y > 0, se tivermos k < 18 vamos obter 2x² - 12xy + ky² < 0.
Logo, o menor valor de k é 18. Resposta, letra C.