IME 1989/1990

IMEBOL é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde a > b > c são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flávio e Ralph resolvem jogar IMEBOL e após algumas partidas a soma dos pontos foi: Marcos: 20, Flávio: 10, Ralph: 9. Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.

Resolução

Chamaremos o número de partidas jogadas de n e o número total de pontos distribuídos em cada partida de p = a + b + c.

Como a > b > c > 0, temos que o valor mínimo para p, a princípio, é 6 = 3 + 2 + 1.
E já que Flávio ganhou a segunda partida, então n > 1 (= 2 ou 3 ou 4, ...).

Uma vez que Marcos obteve 20 pontos, Flavio: 10 e Ralph: 9, temos que o número total de pontos em todas as partidas é: np = (20 + 10 + 9) ---> np = 39.

Como n e p são inteiros positivos, temos que n e p devem, obrigatoriamente, ser divisores naturais de 39 (e, além disso, é claro, o produto deles deve resultar 39 ---> np = 39).
Dessa forma, temos a princípio duas possibilidades:

- 1 e 39 (Além de serem fatores, isto é, divisores naturais de 39, seu produto resulta 39);
- 3 e 13 (Idem ao de cima).

O número n de partidas jogadas não pode ser 1, pois, conforme já havíamos visto, n > 1. O número p de pontos totais distribuídos em cada partida (a + b + c) também não pode ser 1, porque, como vimos, o valor mínimo que p pode assumir é 6 (= 3 + 2 + 1). Assim, descartamos a primeira possibilidade.

Portanto, os números que resolvem a equação np = 39 devem ser  3 e 13.
Observemos, primeiramente, que p não pode ser igual a 3 (pelo motivo já exposto anteriormente); logo, p = 13 e n = 3.

Como Marcos fez 20 pontos nas três partidas, a > 6, e como Flávio fez 10 pontos, ganhando pelo menos uma partida, a < 9.
Assim, a princípio, a = 7 ou a = 8. Mas a = 7 significaria que Marcos teria tirado dois primeiros e um segundo, totalizando (2a + b) = 20 pontos, com b = 6. Isto é inviável, pois implicaria em c = 0, pois (a + b + c) = 13. Portanto, a = 8, e Flávio tendo ganhado pelo menos uma partida, necessariamente tirou em terceiro nas outras duas com c = 1, de modo que b = 4. Para atingir seus 20 pontos, Marcos então tirou dois primeiros e um segundo, e assim as colocações de Ralph também ficam determinadas:

Primeira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.
Segunda partida: 1º Flávio; 2º Marcos; 3º Ralph.
Terceira partida: 1º Marcos; 2º Ralph; 3º Flávio.